LPT-2009-02 [BibTeX]
Wolfgang Dahmen, Wolfgang Marquardt:
Datenkompression, Prozessoptimierung, Aerodynamik: Eine Tour durch die Skalen
In: Martin Grötschel, Klaus Lucas und Volker Mehrmann (Eds.): Produktionsfaktor Mathematik, wie Mathematik Technik und Wirtschaft bewegt, 2009, 63-97
Abstract:
Enorm gestiegene Rechnerkapazitäten ermutigen zu einer immer genaueren Erschließung
komplexer Prozesse in Natur- und Ingenieurwissenschaften durch numerische Simulation.
Die Mathematik als Schnittstelle zwischen realer und digitaler Welt liefert
einerseits die Grundlagen zur Formulierung notwendigerweise vereinfachter Modelle
der Realität. Andererseits bietet sie aber auch die methodischen Grundlagen für den
Entwurf effizienter Algorithmen, die aus solchen Modellen quantitative Information gewinnen
können. Eine zentrale Herausforderung liegt dabei in der Tatsache, dass reale
Prozesse meist durch relevante Anteile auf einer riesigen Spannweite von Längenskalen
getrieben werden. Die Entwicklung mathematischer Methoden zur Behandlung von
Mehrskaligkeit ist daher von wesentlicher Bedeutung. In diesem Artikel wird dies anhand
jüngster Entwicklungen in ganz unterschiedlichen Anwendungsbereichen erklärt
und illustriert, auch um deutlich zu machen, wieviele „Fliegen“ man mit einer „mathematischen
Klappe“ schlagen kann. Insbesondere werden grundlegende, auf Waveletzerlegung
beruhende Prinzipien zunächst im Rahmen der Bildkompression und -kodierung
auf weitgehend elementare Weise erklärt. Es wird dann aufgezeigt, dass diese Konzepte
in ganz ähnlicher Weise bei der Datenanalyse im Zusammenhang mit verfahrenstechnischen
Anwendungen, bei großskaligen Optimierungsproblemen der Prozessindustrie
sowie bei komplexen Strömungsproblemen wie in aerodynamischen Anwendungen zum
Tragen kommen. Stabile Zerlegungen in Anteile unterschiedlicher Längenskalen eröffnen
dabei einen Zugang zu adaptiven Lösungskonzepten, die in der Lage sind, automatisch
Rechnerresourcen dort zu plazieren, wo sie zu einer ökonomischen Realisierung
der gewünschten Lösungsqualität, etwa in Form von Genauigkeitstoleranzen, benötigt
werden.