Globale Optimierung

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McCormick-based Algorithm for mixed-integer Nonlinear Global Optimization (MAiNGO) ist eine deterministisch globale Optimierungssoftware zur Lösung von gemischt-ganzzahligen nichtlinearen Programmen (MINLPs), welche am Lehrstuhl für Systemverfahrenstechnik (AVT.SVT) entwickelt wird.

Jedes (gemischt-ganzzahlige oder kontinuierliche) nichtlineare Programm mit nicht-konvexen Funktionen kann mehrere lokale Optima besitzen. Methoden zur lokalen Optimierung können zu jeder beliebigen lokalen Lösung konvergieren oder bei einer schlechten Wahl des Initialwertes sogar daran scheitern, überhaupt einen zulässigen Punkt zu finden. Heuristische Methoden wie Evolutionäre Algorithmen oder Simulated Annealing konvergieren zum globalen Optimum mit Wahrscheinlichkeit eins nur wenn die Laufzeit gegen unendlich läuft. Im Gegensatz dazu, garantieren global deterministische Methoden endliche Konvergenz zu einer globalen Lösung für durch den Nutzer spezifizierte, von null verschiedene Toleranzen für Zulässigkeit (δ) und Optimalität (ϵ).


MAiNGO kann MINLPs der Form

\(\begin{align*} \min_{\mathbf{x},\mathbf{y}}\,\,\, &f(\mathbf{x},\mathbf{y}) \newline \text{ s.t. } &h(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \mathbf{0} \newline &g(\mathbf{x},\mathbf{y}) \leq \mathbf{0} \newline &\mathbf{x}\in X\subset \mathbb{I}\!\mathbb{R}^{n_x} \newline &\mathbf{y}\in Y = \{0,1\}^{n_y} \end{align*}\)

 

bis zur globalen Optimalität mit Zulässigkeitstoleranz δ und Optimalitätstoleranz ϵ lösen beziehungsweise beweisen, dass kein δ-zulässiger Punkt existiert, wobei Iℝ die Menge aller abgeschlossenen Intervalle in ℝ bezeichnet.


Eine der algorithmischen Besonderheiten von MAiNGO ist das Durchführen der Berechnungen in dem Raum der ursprünglichen Optimierungsvariablen (d.h. es werden keine Hilfsvariablen im Optimierungsprozess eingefügt) mit Hilfe der McCormick Relaxierungen [McCormick1976, Mitsos2009, Tsoukalas2014] berechnet durch die Bibliothek MC++. Außerdem verfügt MAiNGO über eine Heuristik zur Verbesserung von McCormick Relaxierungen [Najman2018] und spezialisierte Relaxierungen für verschiedene Funktionen (einschließlich relevanten Funktionen in der Verfahrenstechnik) [Najman2016]. MAiNGO bietet Flexibilität in der Modelformulierung und ist in der Lage mit Funktionen umzugehen, von denen nur die Werte, Ableitungen, Relaxierungen und Subgradienten an jedem Punkt des Definitionsbereiches verfügbar sind, ohne dass die eigentliche algebraische Form der Funktion zugänglich ist.

Anwendungen:

Es wurde gezeigt, dass MAiNGO Vorteile bei Problemen mit einer reduced-space Formulierung aufweist (Mitsos2009, Bongartz2017).

Optimierung von Prozessfließbildern:

Fließbildoptimierung ist eine relevante Anwendung, bei der reduced-space Formulierungen verwendet werden können, welche sich als Hybride zwischen gleichungsbasierten und sequentiell-modularen Ansätzen interpretieren lassen. Gegenüber rein gleichungsbasierten Ansätzen, wie sie bisher für globale Optimierung meist genutzt werden, kann dies zu signifikant reduzierten Laufzeiten führen (Bongartz2017, Bongartz2017ESCAPE, Huster2017, Bongartz2018).

Optimierung von hybriden Modellen mit künstlichen neuronalen Netzwerken:

Die Lösung von Problemen in dem Raum der ursprünglichen Optimierungsvariablen hat besondere Vorteile bei Optimierungsproblemen mit eingebetteten künstlichen neuronalen Netzwerken (Schweidmann2018a). Diese Methode ermöglicht zum Beispiel deterministisch globale Optimierung von hybriden Prozessmodellen in denen die Thermodynamik durch neuronale Netzwerke modelliert ist (Schweidtmann2018b). Ein anderes Beispiel ist die datengetriebene Modellierung und anschließende Optimierung von Membraneigenschaften (Rall2018).


Weitere Informationen über die derzeitige Version von MAiNGO finden Sie hier.