Empirical model reduction of differential-algebraic equation systems

Romijn, Reinout; Marquardt, Wolfgang (Thesis advisor); Grepl, Martin Alexander (Thesis advisor)

Aachen : Shaker Verlag (2016)
Buch, Doktorarbeit

In: Berichte aus der Verfahrenstechnik
Seite(n)/Artikel-Nr.: XVI, 165 Seiten : Illustrationen

Kurzfassung

Die Beschreibung realer Prozesse mittels mathematischer Modelle wird in der Wissenschaft und in der Technik zu zahlreichen Zwecken eingesetzt. Für verschiedene Anwendungen wie zum Beispiel den Einsatz in Echtzeitanwendungen ist die benötigte Rechenzeit zur Lösung des Modells relevant. Um die Rechenzeit eines bestimmten Modells zu verringern, können Methoden der Modellreduktion angewendet werden. Mit Hilfe dieser Methoden wird die Zahl der Modellgleichungen reduziert, wobei eine gewisse Ungenauigkeit der Modelllösung in Kauf genommen wird. In der Literatur sind ausgereifte Modellreduktionsmethoden für lineare Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODE Systeme) und für lineare differential-algebraische Gleichungssysteme (DAE Systeme) vorhanden. Eine häufig angewendete Reduktionsmethode für nichtlineare ODE Systeme ist die der Proper Orthogonal Decomposition gefolgt von einer Galerkin Projektion der Modellgleichungen (POD Methode). Diese Methode wird empirisch genannt, da Simulationen des Originalmodells für die Berechnung der reduzierten Projektionsbasis erforderlich sind. Obwohl die Modellierung realer Systeme oft zu nichtlinearen DAE Systeme führt, hat sich in der Literatur noch kein Verfahren als allgemeine Methode zur Reduktion dieser Art von Modellen etabliert. Die zwei herkömmlichen Verfahren projizieren entweder alle Gleichungen oder lediglich die Differentialgleichungen auf eine reduzierte Basis. In der vorliegende Arbeit werden verschiedene empirische Reduktionsverfahren entwickelt und mit den beiden herkömmlichen Verfahren verglichen. Zur systematischen Entwicklung des Reduktionsverfahrens wird zuerst die POD Methode analog zur Methode der Balanced Truncation für lineare DAE Systeme mit einem beliebigen differentiellen Index formuliert. Es wird gezeigt, dass dank dieser allgemeinen Formulierung ein POD-reduziertes Modell ein mit Hilfe der Balanced Truncation reduziertes Modell unter den gleichen Bedingungen wie für ODE Systeme approximiert. Die vorgeschlagene Methode basiert auf einer Transformation des linearen DAE Systems zur Weierstrassform und einer darauffolgenden Reduktion mittels Projektion. Die Transformation ermöglicht die Anwendung des Reduktionsverfahrens auf Systeme mit einem beliebigen differentiellen Index im Gegensatz zu den herkömmlichen Methoden wie anhand eines Beispiels gezeigt wird. Mittels einer Gewichtung des Innenproduktes der Projektion kann gezielt das Eingangs-zu-Zustandsverhalten oder das Eingangs-zu-Ausgangsverhalten des Originalmodells approximiert werden. Die für lineare DAE Systeme entwickelten Reduktionsverfahren können auf nichtlineare DAE Systeme übertragen werden. In dieser Arbeit bleibt die Anwendung beschränkt auf nichtlineare DAE Systeme mit strangeness index Null. Ein Rechenbeispiel zeigt, dass die herkömmliche POD Methode mittels Projektion aller Gleichungen nicht immer zu guten Ergebnisse für diese Modellklasse führt. Die herkömmliche POD Methode mittels Projektion der Differentialgleichungen so wie auch die in dieser Arbeit neu vorgeschlagenen Methoden sind anwendbar. Das Ziel der Modellreduktion - das Verringern der Rechenzeit - sollte immer im Vergleich zum auftretenden Approximationsfehler betrachtet werden. Grob gesprochen verringert sich die Rechenzeit beim Reduzieren der Zahl der Modellgleichungen, wobei der Approximationsfehler jedoch größer wird. Die Fehlertoleranzen der numerischen Integrationsalgorithmen spielen aber auch eine Rolle: eine höhere Fehlertoleranz führt zur Verringerung der Rechenzeit und zur Vergrößerung des Approximationsfehlers. Die Rechenbeispiele in dieser Arbeit zeigen, dass, wenn dieser Faktor mitbetrachtet wird, jedes der Modellreduktionsverfahren schlechter abschneiden kann als das nicht-reduzierte Originalmodell: durch die richtige Wahl der Fehlertoleranzen konnten die Originalmodelle bei vergleichbaren Approximationsfehlern in dieser Arbeit oft schneller simuliert werden als die reduzierten Modelle. Dieses Ergebnis wurde sowohl für die aus der Literatur bekannten Reduktionsmethoden als auch für die neu vorgeschlagenen Methoden erzielt. Einer der Gründe für das Fehlen der Simulationszeitverbesserung bei Anwendung von Projektionsmethoden ist, dass trotz einer Reduktion der Zahl der {Modellgleichungen} die Zahl der rechenzeitintensiven nichtlinearen Funktionen nicht reduziert wird. Eine mögliche Lösung dieses Problems wird im letzten Kapitel dieser Arbeit vorgeschlagen. Die nichtlinearen Funktionen werden durch eine reduzierte Zahl von parametrierten nichtlinearen Funktionen ersetzt. Mittels Parameterschätzung werden diese Funktionen an Simulationsdaten des Originalmodells angepasst. Ein Rechenbeispiel zeigt jedoch, dass hiermit zwar die Simulationszeit reduziert werden kann, der Approximationsfehler jedoch größer wird und damit eine Reduktion der Rechenzeit bei vergleichbarem Approximationsfehler nicht garantiert werden kann.

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